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Phys and Tips

物理学やその他もろもろのTipsを紹介します。

斜交座標の内積から計量テンソルを自然に導く

線形代数 相対性理論

はじめに

前回の記事(cos を使った内積と成分を使った内積は同じか? - Phys and Tips)ではベクトルの内積について、「$\cos$ の内積」と「成分の内積」が等しい、つまり\[
\begin{align}
\U \cdot \V = \abs{\U} \abs{\V} \cos \theta = \sum_i U_i V_i
\end{align}
\]が成り立つことを見てきた。また、成分の内積は、行列を使って\[
\begin{align}
\U \cdot \V &= \U^T \V
\nonumber
\\
&= \left(
\begin{array}{cccc}
U_1 & U_2 & \cdots & U_n
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
V_1
\\
V_2
\\
\vdots
\\
V_n
\end{array}
\right)
\label{eq:inner_product_matrix}
\end{align}
\]とも表せる。

しかし、これらの内積が等しいことを示すために基底の正規直交性\[
\begin{align}
\e_i \cdot \e_j = \left\{
\begin{array}{cc}
1 & (i = j)
\\
0 & (i \neq j)
\end{array}
\right.
\label{eq:orthonormal_basis}
\end{align}
\]を利用したため、基底の長さが $1$ でなかったり他の基底と直交していないときには成り立たなさそうである。

この記事では、やはり $2$ 次元ベクトルの、基底の長さが $1$ でなかったり斜めに交わっているような場合(以後まとめて「斜交座標」と呼ぶ)の内積を考えていく。$\cos$ の内積から出発した場合と、成分の内積から出発した場合でどのようになるかを見ていこう。そして、その過程で自然と「計量テンソル」なるものに出くわすことがわかることだろう。計量テンソルは相対論などでも出てくる概念だが、何の事はない、高校数学程度の計算と行列の知識で理解できる話だ。

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cos を使った内積と成分を使った内積は同じか?

線形代数 高校数学

はじめに

あるふたつのベクトル $\U$ と $\V$ の内積 $\U \cdot \V$ について考える*1。高校の知識で、\[
\begin{align}
\U \cdot \V &= \abs{\U} \abs{\V} \cos \theta
\\
\U \cdot \V &= U_1 V_1 + U_2 V_2 + \dots = \sum_i U_i V_i
\end{align}
\]と、2通りの表現が思い浮かぶだろう。ここで、 $\theta$ はふたつのベクトルがなす角である。また、$U_i$ は $\U$ の $i$ 番目の成分だ。前者を「$\cos$ の内積」、後者を「成分の内積」とでも呼ぼう*2

さて、このふたつの表記、ともに同じ内積を表しているので、以下が言えるはずである。\[
\begin{align}
\abs{\V} \abs{\U} \cos \theta = \sum_i U_i V_i
\end{align}
\]すなわち、$\cos$ の内積と成分の内積は等しくなるはずだが、それが証明できるだろうか? また、この式はつねに正しいと言えるだろうか? 

この記事では、2次元ベクトルの内積にフォーカスをあて、$\cos$ の内積と成分の内積が(ある条件のときに)等しいことを見ていく。使う数学はすべて高校レベルなので、安心して読んでいただきたい。

*1:ベクトルは $\vec{U}$ の他に、太字で表して $\U$ などともする。大学以上では太字が主流。

*2:これはこの記事で勝手にそう呼んでいるだけなので、一般には通じない……と思う。よりよい名前募集中。

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フーリエ級数展開をベクトルで直観的に理解する

物理数学

はじめに

フーリエ級数展開(Fourier series expansion、以下「フーリエ展開」と呼ぶ)というのは、ある関数 $f(x)$ を、以下のように三角関数の重ねあわせで表現する級数展開だ。\[
\begin{align}
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{k = 1} \left( a_k \cos k x + b_k \sin k x \right)
\label{eq:fourier}
\end{align}
\]ここで、 $a_k$ や $b_k$ は $f(x)$ によって決まる定数で、\[
\begin{align}
a_k = \frac{1}{\pi} \int ^ \pi _{- \pi} f(x) \cos kx \ \d x
\label{eq:a_k}
\\
b_k = \frac{1}{\pi} \int ^ \pi _{- \pi} f(x) \sin kx \ \d x
\label{eq:b_k}
\end{align}
\]のように計算できる。

ここではフーリエ展開がどのようなものかについてはとくに説明しない。フーリエ展開についてまったく知らない、という人は、例えばこのリンク(EMANの物理学・物理数学・フーリエ級数の基本)などが参考になるだろう。

この記事では、フーリエ展開をする際の展開係数 $a_k$ や $b_k$ の求め方に注目する。式\eqref{eq:a_k}や\eqref{eq:b_k}を見てほしい。なぜこの計算で展開係数が求められるか自分なりに説明できるだろうか? この記事は、今はそれができないがなんとか理解したいという人のためのものだ。

結論から言おう。フーリエ展開は、ベクトルの展開と同じように捉えることで簡単に理解できる。もっと正確に言うと、直交関数系での展開のひとつだ。今はまだこの文の意味がわからなくても構わない。この記事を読んだ後ならば、これらの言葉もすんなりと理解できるようになるはずだ。

そのためには、まずベクトルのおさらいからはじめる。その後で、ベクトルに対して行った議論が関数の場合にも可能であることを見る。そこまで終われば話は簡単で、最後にフーリエ展開の係数の求め方が理解できたことをさくっと確認する。

イントロのまとめ:

  • 話さないこと:フーリエ展開とは何か
  • 話すこと:展開係数を求め方をどう理解すればよいか
  • フーリエ展開はベクトルの展開と同じように理解できる
  • キーワードは、「直交関数系」
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マクスウェルの規則の簡単な証明

熱力学 解析学

熱力学でよく用いられる、マクスウェルの規則*1と呼ばれる関係式がある。それは、圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ が\[
\begin{align}
p &= p(V, T)
\\
V &= V(T, p)
\\
T &= T(p, V)
\end{align}
\]のように相互に関係しあって定義されているとき、\[
\begin{align}
\left( \pdiff{p}{V} \right)_T \left( \pdiff{V}{T} \right)_p \left( \pdiff{T}{p} \right)_V = - 1
\label{eq:triple}
\end{align}
\]を満たすというものだ。

ここで、 $\left( \cdot \right)_A$ は変数 $A$ を変化させずに偏微分せよという意味で、例えば $\left( \inpdiff{p}{V} \right)_T$ は「関数 $p$ は $T$ と $V$ の関数だが、変数 $T$ を固定しつつ $V$ で偏微分せよ」という意味だ*2

この記事では、偏微分、全微分の知識を前提として、この式が成り立つことをなるべく簡単に証明する。さらには、その奥に隠れている数学的な構造にも少し触れてみる(というか、長さ的にはそちらがメインのようになってしまった)。

*1:相転移の理論に用いられる「マクスウェルの等面積則」を指して「マクスウェルの規則」と呼んでいる文献も多いが、ここでは式\eqref{eq:triple}で示す数式をマクスウェルの規則と呼ぶ。また、英語では、より広い数学の文脈で"Triple product rule"などと呼ばれているようだ(Wikipedia参照)。

*2:同じ意味で、 $\inpdiff{p(V, T)}{V}$ と書く流儀もある。偏微分はそもそも「微分する変数以外はすべて止めて微分せよ」という意味なので、 $p$ の引数(独立変数)をすべて $p(V, T)$ のように明示しておけば、 $V$ 以外の変数(ここでは $T$)は固定させることが明らかとなる。

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