Phys and Tips

物理学やその他もろもろのTipsを紹介します。

計量テンソルを高校(+大学初年度)の数学だけを使って自然に導く

はじめに 前回の記事(cos を使った内積と成分を使った内積は同じか? - Phys and Tips)ではベクトルの内積について、「$\cos$ の内積」と「成分の内積」が等しい、つまり\[ \begin{align} \U \cdot \V = \abs{\U} \abs{\V} \cos \theta = \sum_i U_i V_i \…

cos を使った内積と成分を使った内積は同じか?

はじめに あるふたつのベクトル $\U$ と $\V$ の内積 $\U \cdot \V$ について考える*1。高校の知識で、\[ \begin{align} \U \cdot \V &= \abs{\U} \abs{\V} \cos \theta \\ \U \cdot \V &= U_1 V_1 + U_2 V_2 + \dots = \sum_i U_i V_i \end{align} \]と、2…

フーリエ級数展開をベクトルで直観的に理解する

はじめに フーリエ級数展開(Fourier series expansion、以下「フーリエ展開」と呼ぶ)というのは、ある関数 $f(x)$ を、以下のように三角関数の重ねあわせで表現する級数展開だ。\[ \begin{align} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{k = 1} \left( a_k…

マクスウェルの規則の簡単な証明

熱力学でよく用いられる、マクスウェルの規則*1と呼ばれる関係式がある。それは、圧力 $p$、体積 $V$、温度 $T$ が\[ \begin{align} p &= p(V, T) \\ V &= V(T, p) \\ T &= T(p, V) \end{align} \]のように相互に関係しあって定義されているとき、\[ \begin{…